بینهایت

بدون ریاضیات هرگز

infinity — Fri, 20 Jul 2007 17:46:25 GMT

بازهم سلام. وباز هم
سلام به همه. سلام به همه شما دوستان. خیلی دلم براتون تنگ شده بود...

آه. حدود نه ماه نیم از پست قبلی میگذره. اگه خونده باشید نوشته بودم که ممکنه نبودنم طول بکشه، ولی راستش خودم هم فکر نمی کردم اینقدر زیاد بشه. همونطور که گفتم معادلات اون روزگار دیگه کارساز نبود. عوض شده. الان خیلی چیزها در زندگی من عوض شده. و این همه مدت شاید لازم بود. توی این مدت از ریاضیات اصلا دور نبودم. اما از وب- ریاضیات و شما دوستان خیلی دور. دلم برا همه تون تنگ شده. دلم می خواد دوباره با همتون همگام بشم و عضو کوچک خانواده بزرگ ریاضی نویسان باشم. من دارم از یه سفر می آم. سفر من الخلق الی النفس. نمی دونم این سفر در اسفار اربعه ملاصدرا وجود داره یا نه!؟ برگشتم و دیدم که توی این مدت هنوز هم خیلی ها به ما لطف دارن و نظر میدن. حتی دوستان خیلی زیادی به جمع ریاض نویسان اضافه شدن.ازین بابت به همشون تبریک میگم. ولی فک کنم دیگه داشتید بیخیالم می شدیدا. توی این مدت نمی دونید چه اتفاقا که نیافتاده. بخوام بگم باید یه وبلاگ جدا بزنم. اسیر شدم، زندون افتادم، دادگاه رفتم، بستری شدم، کار کردم، درس خوندم، پرواز کردم، سکوت کردم، فریاد زدم، آزاد شدم و...

نه بابا بد فک نکنید، من نه قاچاقچی ام، نه معتاد و نه هیچ چی دیگه . اینا بیشترشون تمثیلی اند. داستانش طولانیه. تازه لیسانس ریاضی رو هم تقریبا گرفتم. اینکه می گم تقریبا واسه اینه یکی دو تا عمومی و اختیاری مونده. همه شون اگه کار یه لیوان آب خوردن نباشه، فوقش یه پارچ ( در بعضی گویش ها و لهجه ها : تنگ ، آبدونه و ... ) آبه.
از همه اینها که بگذریم به این می رسیم که من برگشتم که برنامه هامون رو ادامه بدیم. یعنی فعالیتامون رو از سر بگیریم. با اینکه تصمیم گرفتم توی ریاض ادامه تحصیل ندم (بنا به دلایلی) اما من بدون ریاضی نمی تونم زندگی کنم. اصلا بدون ریاضی هرگز. ولی خوب... دیگه مثل قبل شاید نتونم کار کنم. کمی آهسته تر ( رهرو آن نیست که گه تند و گهی خسته رود ... رهرو آنست که آهسته و پیوسته رود ). اما دوست ندارم به کلی دور باشم.
ایده های الکترونیک رو هم به اجرا میذارم مثل وبلاگ خوانی که بود و بقیه... ایده های دیگه هم دارم. من در این زمینه احتیاج به کمک دارم. از کسانی که دستی در کار دارند و خودشون وبلاگ ندارند، دعوت می کنم که اگر مایلند با ما همکاری کنند.

و درآخر:

من یکی که با ریاضی گره خوردم. اصلا هم دوست ندارم این گره باز شه.
از همه دوستانی که لطف کردند و نظر دادند و لینک گذاشتند و دعوت به همکاری کردند، بسیار ممنونم و به مرور به آنها پاسخ خواهم داد. خیلی از لطفتون ممنون.
یه نکته مثبت دیگه که این همه دوری داشت : فهمدیم که بعضیا هیشش مطلب رو نمی خونن و فقط می آن میگه « به به، به منم سر بزن » . کاملا معلومه که هیچ چی رو نخوندن. ببخشید البته. وبلاگ نویسا می گن نظر بدین. من میگم اینکه بخونید مهمتر از اینکه توی نظرات چیزی بنویسید.
این همه بحث جدی بود، ولی فک کردین! از دست من خلاص نمیشین. لا اقل حالا حالاها. مگه اینگه خدا از دست من خلاصتون کنه. تازه بعید نیست در اون صورت که هی ازون دنیا به خواب کسی بیام و مطلب بدم.

چقدر حرف دارم برا گفتن. چقدر کم گفتم. آغازی دوباره را... تا بعد ...

لحظه های ناگهان

infinity — Wed, 04 Oct 2006 05:39:18 GMT

سلام.
سلامی از پس لحظه های شتابان. طاعات و عباداتتون قبول. ما رو هم دعا کنید.
از لطفی که به ما دارید و نظرات نابتون ممنونم. از همه اونهایی هم که نظراتشون نیاز به پاسخ داشت و من پاسخ ندادم بسیار عذر می خواهم. گاهی همه چیز آنطور نیست که فکر می کنی. گاهی با به وجود آمدن شرایط جدید اگر بخواهی بر معادلات قدیمیت پافشاری کنی به جواب نخواهی رسید. باید معادلات را به هم ریخت و جور دیگر چید. مدتی آفلاین آفلاین خواهم بود. شاید پنج روز دیگه (علاوه بر این همه مدت قبل از اعلامیه ) شاید ده روز و شایدم خیلی بیشتر. هیچکدوم از برنامه هایی که قرار بود تو وبلاگ انجام بدیم یادم نرفته. همه نظارت شما رو هم راجع به وبلاگ خوان اعمال خواهم کرد. اما مدتی ( به دلیل بازدید بازرسان آژانس انرژی درونی از وبلاگ من ) فعالیت ها به حالت تعلیق درآمده. ما رو فراموش نکنید.
پایان مدت تعلیق متعاقبا اعلام خواهد شد.
موفق باشید.

بخش جدید - وبلاگخوان ریاضی.

infinity — Sat, 09 Sep 2006 17:11:10 GMT

سلام.

عید بزرگ و فرخنده، میلاد حضرت ولی عصر (عج)، یاری دهنده مظلومان و عدالت گستر گیتی را به همه منتظرانش تبریک می گویم. امیدوارم تا لحظه ظهور از منتظرانش باشیم و از پاسخ دهندگان به ندایش، آن زمان که یاری می طلبد.
با آرزوی تعجیل در فرج ایشان. صلوات.
**
همونطور که دیدید یه سیستم خبرخوان وبلاگهای ریاضی در بالا گذاشتم. توی این قسمت شما میتونید عنوان دو تا پست آخر هر وبلاگ رو ببینید. این قسمت دو تا مزیت داره: یکم اینکه شما در زمان بسیار کوتاهی از آخرین تغییرات وبلاگهای ریاضی با خبر میشید و اینطور نیست که یه وبلاگ چند روز از آپدیتش گذشته باشه و خبر نداشته باشید. دوم اینکه اگه یه موقع من یه چند روزی آپ نکنم، باز وبلاگم به یه دردی می خوره.
البته الان این بخش در حالت بتا ( اووو، چه با کلاس! ) قرار داره و تقریبا همه چی بستگی به نظر شما داره. الان به صورت آزمایشی تعداد محدودی وبلاگ رو در اون قرار دادم. اگه خوشتون اومد و با اون موافق بودید بگید تا کم کم همه وبلاگهای فعال رو واردش کنم. هر نظری درباره اون دارید بگید. باشه یا نباشه، شکل و اندازش خوبه یا نه! محل قرار گرفتنش. و...
برای امروز مطلب آماده نکردم. (خوب بجاش این بخشو راه انداختم دیگه).
راستی بر و بچه های عزیز وبلاگ نویس، اگه می خواید وبلاگتون توی این قسمت باشه ( یا نباشه)، به من بگید. به هر وبلاگ ریاضی هم که می شناسید اطلاع بدید. خدا رو چه دیدی، شاید یه خبر خوان ریاضی خوب راه افتاد. اطلاعاتم که بالابره سعی میکنم (قول نمیدم. بالاخره از محدودیتهای وبلاگ که مطلع هستید. اگه شد.) که این بخش چکیده مطلب رو هم داشته باشه.

منتظر نظراتتون هستم. سعی میکنم یه مطلب بعدی رو زودآماده کنم. راستی! ببینم شما هیچکدومتون سوالی در ریاضی ندارید که جوابشو ندونید. آخه داشتم اهداف وبلاگ رو که موقع راه اندازی نوشته بودم مرور می کردم. یکیش این بود: رهنمون کردن سوالها به سوی جوابها. سوال دارید بگید. من خودم که چیزی بلد نیستم ولی برنامه اینه که میگردم جواب رو پیدا می کنم و سوال و جواب، هر دو رو میذارم تو وبلاگ. ببینم چه کار می کنید.

پاینده باشید و پوینده.

نکات باقیمانده تکنیک ها

infinity — Thu, 31 Aug 2006 12:37:18 GMT

سلام.
قبل از هر چیز بگم که بخش "خبرنامه" رو راه انداختیم که اگه دوست داشتید عضو بشید. وقتی عضو بشیدو از آپدیت شدن وبلاگ خیلی زود مطلع میشید. و ضمنا اگه مقاله خوبی یا لینک خوبی هم داشتیم براتون میفرستیم. فقط ظاهرا یه نقصی داره خبرنامه وبگذر و اون اینکه ایمیل نقطه دار نوفهمه.

خوب. تو بحث قبل اشاره کردیم که در نظر نگرفتن مرحله ۱ (مورد پایه) در هنگام به کار بردن روش استقراء ریاضی چه عواقب جبران ناپذیر مالی و جانی در پی خواهد داشت. درسته؟ (میگه آره! کی چنین چیزی گفتیم!!) حالا مثالهای در مورد اهمیت این مرحله:

قضیه۶ (اشتباه): به ازای هر عدد صحیح n>=0 ، داریم: n=n+۵. (!!)
اثبات: "اثبات به استقرا": بیاید مرحله ۱ رو در نظر نگیریم. مرحله ۲:
فرض می کنیم که حکم برای یک n ی درست باشد. یعنی n=n+۵.(فرض استقرائی) ما باید نشان دهیم که برای n+۱ نیز درست است. یعنی n+۱) = (n+۱) + ۵). نشان دادن این بسیار ساده است. کافیست به دو طرف تساوی فرض استقرا عدد ۱ را اضافه کنیم.

مشکل برهان ارائه شده اینه که ما درست بودن حکم رو برای مورد پایه (در اینجا صفر) چک نکردیم که در این مورد مسلما درست نیست.

قضیه ۷ (اشتباه): در هر مجموعه n تایی از دانش آموزان، همه دانش آموزان هم قد هستند.(!!)
اثبات: "اثبات با استقراء بر روی تعداد دانش آموزان":
این بار ما با مورد پایه شروع می کنیم: در هر مجموعه ۱ عضوی، حکم (اینکه همه دانش آموزان مجموعه هم قد هستند) به وضوح درست است، چون فقط یک نفر در مجموعه هست.
بنابراین اجازه بدهید که به مرحله ۲ برویم: فرض میکنیم که حکم برای مجموعه k عضوی درست باشد. (فرض استقرائی). حالا مجموعه S رو با k+۱ عضو در نظر بگیرید. بنابراین می تونیم بنویسیم:
{ S = S' U { p_k+۱ که در آن { S' = { p_۱ , ... , p_k مجموعه ایست با k عضو و p_i یعنی : "دانش آموز شماره i". بنابر فرض استقراء همه دانش آموزان مجموعه 'S هم قد هستند (چون k عضو دارد). یعنی p₁ با p₂ هم قد است. اما از طرفی می توانیم بنویسیم: ''S = { p₁} U S که در آن {S'' = { p_۲ , ... , p_k+۱ مجموعه ای k عضوی است. و باز بنابر فرض استقراء همه دانش آموزان "S نیز هم قد هستند و در نتیجه: p_k+۱ با p_۲ هم قد است که خود p_۲ با p_۱ هم قد است. بنابراین p_k+۱ و p_۱ نیز با یکدیگر هم قد هستند. بنابراین همه k+۱ دانش آموز مجموعه S هم قدند و حکم به استقراء ثابت شد.
شما بگین توی این برهان چه چیزی اشتباهه؟

فکر کنم اهمیت مورد پایه در عین ساده بودن روشن شد. در انتها دو اشتباه در آوردن برهان ( که البته بیشتر در مورد مبتدیان اتفاق می افته) رو ذکر کنیم که کار ناقص نباشه. البته مورد دوم رو بیشتر ما در قضاوت های روزمره مون استفاده مینکیم که البته مسائل ریاضی نیستند.:

1. اثبات با مثال: اما اینکه یه حکم برای تعدادی مثال درست باشه لزومی بر درست بودنش نیست. همونطور که قبلا اشاره کردیم ممکنه یک حکم برای بینهایت مورد درست باشه ولی در حالت کلی درست نباشه. مثلا اینکه همه اعداد اول فردند. این حکم برای بینهایت عدد اول درسته و تنها برای ۲ درست نیست. ولی با این حال به شکل گفته شد یک حکم کلی نیست.
2. اثبات بر این اساس که مثال نقض وجود ندارد: اینکه برای یک حکم مثال نقضی "پیدا نکنیم" دلیل بر درستی حکم نمیشه. شاید واقعا وجود داره اما در دسترس ما نیست. همچنان با عدم یافتن مثالی نقضی برای حدس باخ، تبدیل به قضیه شدنش به یافتن اثباتی برای آن موکول شده.
البته اگر بتوانیم ثابت کنیم که هیچ مثال نقضی برای حکم "وجود نداره" یعنی حکم درسته. (که همون برهان خلفه).

خوب دیگه خسته نباشید. پرونده این داستان بسته شد. به نظر خود من این بحث به درد یک نوآموز ... تا دانشجوی ریاضی محض می خوره. نظر شما چیه؟

واما...!!. یه چند روز می خوام به کامپیوترم مرخصی استعلاجی بدم. بیچاره روزگار سختی رو سپری می کنه:
مادر برد: در شرف انفجار... خازن هاش باد کرده. عملیات بایوس به سختی انجام میشه. (همین الان که دارم می نویسم یه بوق عجیبی زد. فکر کنم خوشحال شد که میخواد بره دواخونه)
پاور: چیزی نی... فنش شکسته، می تونه با خورشید رقابت کنه!
فن سی پی یو: در حال حاضر تلفیقی از سه فن. حرکتش منو یاد چرخ پیکانای تهران الف میاندازه؟
هارد: تا خرخره پره. دو قسمت داره: یه قسمت پر نرم افزارای نصب نشده، قسمت دوم نصب شده نرم افزارای قسمت اول.
خوب می خوام به دادشون برسم. به نظر شما چند روز طول میکشه؟ مسئله اصلی مادربردشه که شاید تعمیرش سه، چهار روز طول بکشه.
تا بعد...

سـالـها دل طلب جـام جــم از ما میکـرد آنــچه خود داشت ز بیگانه تمنا میکرد

گوهری کزصدف کون و مکان بیرون است طـلب از گـمشـدگـان لـب دریــا میـکرد

-:: حافظ ::-

% تکنیکهای اثبات قضایا % - ادامه

infinity — Sat, 26 Aug 2006 12:24:18 GMT

سلام بچه ها

از نظرات همه شما بسیار متشکرم. آدمو دلگرم میکنید. البته باور کنید برای من اینکه مطلب رو بخونید مهمتر از اینه که نظر بدید. بنابراین از همه اونهایی هم که مطالب ما رو می خونند ولی نظر نمیدن متشکرم. اما خوب اگه نظر بدین کارتون دوچندان درسته. (تصمیم گرفتم زیاد حرف نزنم . یه راست بریم سراغ اصل مطلب)

توی پست قبلی دو تا از روش های اثبات رو گفتیم. اگه پست قبلی رو نخوندید، اول برید سراغ اون. دوتا روشی که گفتیم اینا بودن:

1. برهان مستقیم (DIRECT PROOF)

2. اثبات عکس نقیض (PROVING THE CONTRAPOSITIVE)

دو تا تعریف که یادتون هست. عدد زوج و فرد. حالا بقیه روشها:

3. اثبات با تناقض (برهان خلف) (PROOF BY CONTRADICTION):

در این روش از برهان، می خواهیم نشان دهیم که " اگر A آنگاه B ". برای این کار فرض میکنیم خلاف این حکم درست باشد (فرض خلف). یعنی فرض می کنیم که " گزاره A درست و گزاره B غلط است." . حالا باید به دنبال یک تناقض بگردیم. این تناقض ممکن است، با فرض قضیه و یا یک حکم بدیهی که از درستی آن مطلع هستیم ولی در فرض مسئله نیست، ایجاد شود. مثلا به این حکم برسیم که 3 کوچکتر از 0 است (تناقض با یک دانسته بدیهی). خوب! به محض اینکه به یک تناقض رسیدیم، نتیجه می گیریم که چیزی که فرض کردیم (فرض خلف) غلط بوده، پس قضیه درسته.

قضیه 3: n و m را اعدا صحیح در نظر میگیریم. اگر n.m زوج باشد، حداقل یکی از اعداد n یا m ، زوج است.

اثبات: فرض میکنیم که "n.m زوج است (A) ولی نه m و نه n هیچکدام زوج نیستند (Not B)" (فرض خلف). بنابرای ما می توانیم بنویسیم:
عددیهای صحیح k و c وجود دارن که : n=۲k+۱ و m=۲c+۱ . در نتیجه:

n.m = (۲k+۱)(۲c+۱) = ۴ k.c + ۲k + ۲c +۱ = ۲(۲k.c + k + c) +۱

که نشان می دهد n.m فرد است. از آنجایی که این یک تناقض (با فرض) است، نتیجه میگیریم که قضیه درست است.

نکته: این یه نکته کوچولو رو داشته باشید که درستی این روش بر اساس قانون ِ"طرد ِشِق ِوسط " است. این قانون میگه که یک گزاره یا درسته و یا غلط و حالت بینابین یا حالت سومی نداره. این روش اثبات تنها در منطق دو ارزشی پذیرفتنی است. (نگران نباشید. این یعنی تقریبا همه جای ریاضی ای که ما می خوانیم به جز جایی که دقیقا در زمینه منطق های چند ارزشی صحبت میشه.) در این روش میگیم: چون فرض غلط بودن حکم به تناقض می رسه، پس غلط نیست، پس درسته. چون نمیتونه نه درست باشه نه غلط.

برای آشنایی با کامل ترین نوع منطق چند ارزشی (منطق فازی Fuzzy) می تونید به وبلاگ امید ریاضی سر بزنید.

4. اثبات با استقراء (PROOF BY INDUCTION) :

در مواردی می خواهیم نشان دهیم که گزاره S(n) برای تمام اعداد صحیح بزرگتر از عدد صحیحی چون n₀ درست است. برای این منظور باید دو مرحله را انجام دهیم:

الف) مورد پایه: باید نسان دهیم که S(n₀) ، (یعنی گزاره S(n) در مورد n₀ ) درست است.

ب‌) فرض استقرائی: فرض میکنیم که S(n) برای یکn > n₀ درست باشد و نشان میدهیم که S(n+۱) نیز درست است.

قضیه 4: برای هر n>=0 و x <> 1 داریم: (علامت <> یعنی مخالف)

۱+ x + x^۲ + … + xⁿ = (xⁿ⁺¹ – ۱)/(x-۱)

اثبات: ابتدا نشان میدهیم که برای مورد پایه درست است. برای n=0 ، S(0) میرساند که

۱= (x^0+۱ -۱ )/(x -۱) که این به روشنی درست است.

حالا فرض استقراء را دانبال می کنیم: فرض میکنیم که

۱+ x + x^۲ + … + xⁿ = (xⁿ⁺¹ – ۱)/(x-۱)

باید نشان دهیم که:

۱+ x + x^۲ + … + xⁿ + xⁿ⁺¹= (x^n+۲ – ۱)/(x-۱)

داریم:

۱+ x + x^۲ + … + xⁿ + xⁿ⁺¹= (xⁿ⁺¹ – ۱)/(x-۱) + xⁿ⁺¹

= ( xⁿ⁺¹ – ۱ + (x-۱).(xⁿ⁺¹) ) / (x-۱)

= ( xⁿ⁺¹ – ۱ + x^n+۲ – xⁿ⁺¹ ) / (x-۱)

= ( x^n+۲ – ۱ ) / (x-۱) .:.

که در اولین تساوی از فرض استقرائی استفاده کردیم و بقیه تساویها، اعمال ساده جبری اند. به این ترتیب قضیه ثابت شد.

نکته: معمولا نشان دادن اینکه حکم برای مورد پایه درست است بسیار بدیهی و ساده است. اما با این وجود این مرحله بسیار مهم است و عدم در نظر گرفتن آن ممکن است به نتایج غلطی منجر شود. برای اینکه مطلبمون زیاد طولانی نشه، روش پنجم اثبات رو هم میگم و مثال هایی در مورد اهمیت مورد پایه در روش استقرا و بعد دو روش غلط اثبات رو برای پست بعدی می گذاریم.

5. رد کردن یک حکم با مثال نقض (DISPROOF BY COUNTEREXAMPLE):

گاهی لازم است نشان دهیم که یک حکم غلط است. برای نشان دادن اینکه یک "حکم" غلط است، یکی از ملزومات آوردن یک مثال نقض است. مثال زیر را ملاحظه فرمائید:

قضیه 5 (اشتباه): به ازای هر n صحیح، 3n زوج است.

اثبات اشتباه بودن: یک مثال نقض مورد n=۷ است. زیرا 21=7×3 زوج نسیت.

توجه کنید که در بعضی موارد یک حکم ممکن است برای بسیار و یا حتی بینهایت مورد درست باشد و حتی در بعضی موارد آوردن مثال نقض بسیار سخت است. مثلا در مورد حدس گلدباخ با آنکه اثبات کاملی برای آن ارائه نشده (نکنه شده من نمی دونم) اما تا به حال مثال نقضی هم برای آن پیدا نشده است.حدس گلدباخ: هر عدد صحیح زوج بزرگتر از 2، مجموع دو عدد اول است.
راستی می پرسید پس یک کلمه ریاضی چی شد؟

خواستم پست طولانی نشه. یه جای خوب براس پیدا می کنم.شما کلمه های توی اسم روش ها رو بخونید فعلا. مثلا : CONTRADICTION یعنی تناقض.

خوب دیگه بسه. خسته نباشید. دیگه واسه پست بعد چیز زیادی نمونده.

این کلام هم بیشتر از اونی که فکرش رو بکنی قابل تامله:

ترس با نا امیدی و شرم با محرومیت همراه است، و فرصت ها چون ابرها میگذرند، پس فرصت های نیک را غنیمت بشمارید. -:: حضرت امام علی (ع) ::-

% تکنیکهای اثبات قضایا %

infinity — Fri, 18 Aug 2006 23:20:18 GMT

*بخش "یک کلمه ریاضی" جزء پست حساب نمیشه. از این به بعد اول پستها میذارم.شایدم یه جای بهتر! *

یک کلمه ریاضی:

Contrapositive

معادل فارسی:" عکس ِ نقیض" (ترکیب اضافی است. با کسره بعد از عکس بخونید. جسارتاً البته). خوب حالا عکس ِ نقیض یعنی چه؟ "عکس ِ نقیض" در مورد احکام و قضایا به کار میره. مبحث گزاره ها رو بلدید؟ (اونایی که هنوز نخوندن خوشحال باشند. چون در مباحث مبانی ریاضی در این مورد صحبت می کنیم.) فعلا یه کوچولو بگم که عکس ِ نقیض یک قضیه یعنی اینکه: اول هم فرض و هم حکم قضیه رو نفی کنیم. یعنی یه "نه" (Not) بیاریم جلوش. و دوم اینکه جای فرض و حکم رو عوض کنیم. مثال: قضیه: " اگر باران می بارد آنگاه(پس) آسمان ابری است."
مرحله یک: " باران می بارد >> باران نمی بارد " ..... " ابری است >> ابری نیست"
مرحله دو: " عکس ِ نقیض ِ قضیه: " اگر آسمان ابری نیست آنگاه(پس) باران نمی بارد."
خوب همه اینها برای چی بود؟ این مهمه: هر "قضیه" و " عکس ِ نقیضش" با هم معادلند. یعنی به جای هر کدوم میشه اونیکی رو به کار برد.

بچه ها سلام. مدتی بود که خونه نبودم. و حتی مقداری از آن را خارج از حیطه زمین بودم. گاهی باید خارج شد. از خانه و محله و شهر خود. و گاه باید از خود نیز برون رفت و خویشتن را بیرون نظاره کرد. و چقدر معتقدم به اینکه: بسیار سفر باید تا پخته شود خامی.
و اما گاهی هم باید از خود سفر کرد و گاهی نیز باید در خود سفر کرد...

خوب! فلسفیدن بسه. دلم تنگ شده بود. برای شما، وبلاگ، نظراتتون، ریاضی نوشتن و ... می خوام خیلی سریع برم سر اصل مطلب. فقط دو تا توضیح کوچیک اینکه:

اول: ان شاءالله سری مباحث پایه ای ریاضیات (مبانی ریاضیات) رو با نگاهی ظریفتر(اگر بتونیم)، مهرماه شروع میکنیم. بیشتر بر اساس کتاب نظریه مجموعه ها و کابردهای آن (شو وینگ تی.لین & یو فنگ.لین، مرکز نشر دانشگاهی) پیش میریم که احیانا بچه های سال اول رشته ریاضی در دانشگاه ها (که الان خودشون نمی دونن) بتونن ازش استفاده کنن. پیشنهاد میکنم در آغاز سال این بچه ها رو در جریان کار بذارید. البته من خیلی وارد جزئیات نمیشم اما سعی می کنم برای همه مفید باشه.

دوم: تعدادی از دوستان سراغ مشروح بحرانهای ریاضی رو میگیرند. چشم. در پستهای بعدی به اون میپردازیم. الان برای اینکه ازین حالت یکنواختی دربیام یه مقاله کوچولو موچولو راجع به " تکنیکهای اثبات احکام" بخونید.

**********************************************************

چندکلامی درباره روشهای عمومی اثبات
ترجمه آزاد مقاله Remarks About Methods of Proof

قصد ما مطرح کردن چند روش ساده و عمومی اثبات است که ممکن است شما بارها از هر کدام استفاده کرده باشید. برای راحتی کار در مثال ها دو تعریف زیر را می آوریم.

تعریف 1: عدد n را زوج گوییم اگر بتوان آنرا به صورت n=2k که k عددی صحیح است، نوشت.
تعریف 2: عدد n را فرد گوییم اگر بتوان آنرا به صورت n=2k+1 که k عددی صحیح است، نوشت.

1. اثبات مستقیم (DIRECT PROOF) :
با فرض های قضیه آغاز می شود و با استنتاج، از آن نتایجی حاصل می شود، بیرون آوردن نتیاج ادامه می یابد تا اینکه به حکم مطلوب برسیم.

قضیه1: اگر n زوج باشد آگاه n^۲ زوج است.
اثبات: n زوج است (فرض) بنابراین عدد صحیحی چون k وجود دارد که n=۲k. بنابراین:

n^۲ = (۲k)^۲ = ۲ (۲k^۲)

و می دانیم 2k^۲ نیز عددی صحیح است بنابراین طبق تعریف1 n^۲ عددی زوج است.

2. اثبات عکس ِ نقیض قضیه به جای خود قضیه. (PROVING THE CONTRAPOSITIVE)
در این روش اثبات، ما می خواهیم نشان دهیم که « اگر "A" آنگاه "B" ». به جای آن ما یک قانون معادل آن را نشان می دهیم: « اگر "B نقض شود" ( Not B)، آنگاه "A نقض میشود" (Not A) ».

قضیه 2: اگر n^۲ زوج باشد، آنگاه n زوج است.
اثبات: در این مورد "n^۲ زوج است" 'گزاره A و "n زوج است" گزاره B می باشد. نشان می دهیم اگر n فرد باشد (نقیض B) آنگاه n^۲ فرد است (نقیض A). به این ترتیب که: می دانیم که عدد صحیحی چون K هست که n=۲k+1. بنابراین:

n^۲= (۲k+۱)^۲ = ۴k^۲+۲k+۱ = ۲(۲k^۲+k)+۱.

چون k صحیح است پس 2k^۲+k نیز صحیح است. پس ما نشان دادیم که n^۲ فرد است.

ـــ خوب بقیه اش باشه واسه پست بعدی. خیلی الکی بود ها؟!!!. مثالا چی؟ آبکی بود؟!! سه روش دیگه هست.

خدایا به من زیستنی عطا کن که در لحظه مرگ بر بی ثمری لحظه ای که برای زیستن گذشته است حسرت نخورم و مردنی عطا کن که بر بیهودگیش سوگوار نباشم. بگذار تا آن را من خود انتخاب کنم اما آنچنان که تو دوست داری. -:: دکتر علی شریعتی ::-

این یکی بدون عنوانه

infinity — Wed, 19 Jul 2006 10:56:18 GMT

به نام خدا
سلام.
اینم قالب جدید. تموم شد. امیدوارم خوب باشه. برای لود شدن صفحه هم فکر می کنم فقط بار اول یه کمی آهسته باشه. اگه Temporary Internet Files رو پاک نکنید دفعه های بعد خیلی سریع میاد بالا. البته زود بالا اومدن صفحه همیشه به محتویات صفحه مربوط نیست.

و بعد هم اینکه سفر من شروع شده.مطلب ریاضی جور نشد دیگه. البته مطلب داشتم. اما برای درج یه مطلب باید یه کم اونو سبک سنگین کرد... .همه شما رو به خدا می سپارم. البته فرصت بشه و کافی نتی در دسترس باشه سر می زنم. و اما...

لطفا اگر قصد خوندن دارید، کامل بخونید. می تونید ذخیره کنید و آفلاین بخونید ولی بخونید

خیلی فکر کردم که تو تابستون چیکار کنم! چه مطالبی بزنم. - برم دنبال کشفیات و نظریات جدید و به روز و ازونا براتون بنویسم، برم دنبال معماها و مساله های ریاضی، یا حتی یه بار فکر یه دوره انتگرال دبیرستان برای دانش آموزان به سرم زد و... خلاصه هزار جور فکر. تازه اینکه گفته بودم مشروح بحران ها رو می نویسم هم یادم نرفته.
و اما عاقبت! دیدم چیزی که علم امروز ما احتیاج داره همش پرداختن به چیزهای جدید و اضافه کردن رشته و درس و گرایش و ... نیست. اینها باید انجام بشه اما برای کسانی که به اونجا رسیدند و آماده دریافت علوم جدیدند.
ولی ما خیل عظیمی از جامعه علمی رو فراموش کردیم. اونهایی که مقداری از راه رو طی کردند ولی بنیاد علمشون قوی نیست. (نمونش خودم)
من کم با دانشجویانی برخورد نکردم که تو منطق ریاضی مشکل دارند. توی پایه. دانشجوی رشته ریاضی هستند اما نمی تونن خودشون با استفاده از فرضیات یک مسئله به حکم برسند! نه به این دلیل که اطلاعاتشون کافی نیست و مثلا یه تعریفی لازمه که بلد نیستند، بلکه به این دلیل که بلد نیستند ارتباط منطقی بین دانسته هاشون برقرار کنن. نمی دونن باید چه کار کنن.
بی تعارف بگم، بیشتر ما اطلاعات کمی داریم. ولی تاسف اونجاست که ازون مقداری هم که می دونیم نمی تونیم استفاده کنیم. ما ها هممون توی خوندن جزوه و کتاب و به خاطر سپردن اطلاعات جدید استادیم، ولی از مسئله حل کردن می ترسیم. چون نمی دونیم باید چه کار کنیم تا مسئله حل شه، به این دلیل که نمی تونیم اجزای مسئله رو تفکیک کنیم.
خوب دقت کنید: هر یه مسئله ای که غلط حل می کنیم باعث میشه یه ایراد توی برداشت منطقی و یا یه کاستی اطلاعات برای ما مشخص بشه. ولی ما حتی نمی تونیم مسئله رو غلط حل کنیم.
چیزی که به ذهنم می رسه اینه که برای بهبود وضع علوم به خصوص ریاضی در جامعه علمی مون باید نگاهمون رو به ریاضی تغییر بدیم. فقط داریم ادامه می دیم تا ببینیم بعد چی میشه!
استاد و دانشجو و... همه میگن: " خوب! ریاضی رشته مشکلیه و..."
... پس دیگه عیب نداره دانشجو درس نخونه! عیب نداره استاد خوب درست نده! عیب نداره که نمره ها افتضاحه! عیب نداره هیچی بلد نیستیم. عیب نداره ...
همه بر این عقیده ایم که ریاضی مقداری مشکلتر از بقیه درسهاست. ولی این باید باعث شه که دانش آموزا، دانشجوها و اساتید، بیشتر کار کنیم نه اینکه کلا ولش کنیم به امان خدا. (خودمو میگم ها ... بابا سخته کی می خونه...)
آخه کی گفته چون ریاضی یه کمی سخت تره پس این وضع دانشجوها و نمره ها و اساتید طبیعیه! کجاش طبیعیه! ... من خودم تا الان اینطوری فکر می کردم بنابراین نیاز به تغییری نمی دیدم. ولی حالا نظرم عوض شد: "درسته ریاضی یه کمی مشکله ولی این وضع اصلا طبیعی نیست. باید یه فکری براش بکنیم."
می دونی! یه چیزی اشک منو در میاره، نه فقط درمورد ریاضی. در مورد همه امور جامعه
"انگار هممون باور کردیم که اینطوریه و اینطوری بهتره"

اوه، اوه ... از کجا به کجا کشیده شد. بگذریم. اصلا قصد قبلیم گفتن اینا نبود. ولی خوب! بدم نشد... . بعد هم حتما نظرتون رو بگید. درسته، غلطه، چرت و پرته، وقت تلف کردنه... شما چی فکر می کنید.؟! این مسئله رو با افردا بیشتری در میون بذارید و نظر اونها رو هم جویا بشید.

خلاصه می خواستم فقط اینو بگم که می خواهیم تو وبلاگ بینهایت از صفر شروع کنیم. بسازیم و به بینهایت برسیم. نظرتون چیه؟ شاید بعضی جاهاش یه کمی تکراری بشه ولی تجربه شخصی خود من میگه که در ریاضی تکرار چیزهایی که آدم بلده بیشتر لذت بخشه تا خسته کننده...

راستی ازین به بعد آخر پست ها هر از گاهی جمله ای چیزی به طور عمومی می زنم. اموزهم اولی رو می خونید.

پیروز باشید و سرافراز.

خدایا، رحم کن به همه کسانی که بر خود دل می سوزانند، چون خویشتن را خوب می پندارند و گمان می کنند که زندگی با ایشان به عدالت رفتار نکرده است. زیرا اینان هرگز موفق نمی شوند به "مبارزه درست" بپردازند. -:: جبران خلیل جبران ::-

تقدیم به مادر

infinity — Sun, 16 Jul 2006 07:47:18 GMT

قلم در دستانم خشک شده است. چقدر ساده بودم. وچقدر نادان که انگاشتم می توانم از تو بنویسم. بارها نوشته ام، درباره همه چیز، و گمانم این بود که اینبار هم خواهم نوشت.
نه! نه من توان نوشتم هست و نه تو نوشتنی هستی! و نه حتی – خوب که فکر می کنم – نیازی به نوشتن هست. کدام جمله است که شایسته تقدیر از تو باشد و کدام کلمه است که تعریف گویای تو باشد. چسیت که شایسته تشبیهت باشد! ای واژه های ژرف یاری ام کنید. می خواهم از کسی بنویسم که خود تک تک واژه های هستی را برایم معنا کرد.
می نویسم! همه ناتوانی ام را در نوشتن از تو و در بیان احساسم. این تنها جایی است که برای بیان خویش در فقر واژه ها غوطه ورم. آه... یافتم. باز هم خود تویی که به یاری ام می شتابی و نام توست که گویا ترین واژه هاست. تو به هیچ توصیفی و تشبیهی و تعریفی نیازمند نیستی.
می خواهم دلنشین ترین غزل را برایت بسرایم. ای عمیق ترین واژه، ای زیباترین جمله، ای رساترین فریاد، گویاترین سکوت و ای دلنشین ترین غزل؛ « مادر ».
مادر! می خواهم جمله ای بیابم که گویای احساسم باشد، اما باز هم هیچ جمله ای بهتر از جمله کودکی شاد از گرفتن دستان مادر، ندارم. "دوستت دارم، مادر"
و چقدر زیباست، کنار هم آمدن دو واژه مهر، دو واژه پر معنای هستی. یکی "دوست داشتن" و دیگری "مادر" که هیچ کلمه ای جز دوست داشتن شایسته قرار گرفتن در کنار غزل "مادر" نیست.
پس اجازه بده بار دیگر بگویم : « دوستت دارم، مادر ».

بچه ها کمک!

infinity — Wed, 12 Jul 2006 15:51:49 GMT

سلام
اول می خواستم با یه قالب کامل و تموم شده غافلگیرتون کنم. ولی احتمالا تا الان متوجه شدید که معمولا فکر اولیه من با تصمیم نهایی فرق داره. این قالبی که الان می بینید هنوز تکمیل نشده. هدف اینه که به یه قالب ریاضی برسیم. یعنی عناصر اون طوری باشند که فضای وبلاگ یک فضای ریاضی باشه. (این فکر ازون موقع که میلاد صحبت از قالب علمی کرد، خیلی برام جدی شد)
حالا از همتون کمک میخوام. همه شما! چه وبلاگ نویس هستید چه نسیتید، چه معمولا به این وبلاگ سر میزنید، چه اولین باریه که اینجا اومدید و خلاصه همه... اگه چیزی در مورد ریاضیتیک کردن قالب وبلاگ به نظرتون می رسه بگید. اصلا اگه چیزی هم به نظرتون نمیرسه بازم بگید. چی کم داره؟ چی کجا باشه بهتره؟ چی اضافه بشه بهتره؟ چی چجوری باشه بهتره؟ (چقد چ!!)
اصلا می دونی چیه، حالا که بازار جایزه داغه منم به همه اونایی که تو ساختن قالب نظر بدن جایزه میدم. بدون قرعه کشی! هرکسی هم آخر نظرش خودش جایزه شو تعیین کنه! ( ... شما: "آخه مگه مجبوری خالی ببندی!؟" ؛ من: "جدی میگم." )
تا تاریخ 24/4/85 تغییرات رو اثر میدیم و بعد میریم سراغ اصل مطلب. ( حالا خوبه اصل مطلب یادمون نرفته)
متاسفانه من 30ام تیر تا 12 (اینجا باید "ام" بذارم یا "هم"!... همون 12 مرداد) و بعدش هم از 19 تا 23 مرداد مسافرت تشریف دارم. پس تور رو خدا بجنبیم قبلش به یکی دو تا بحث ریاضی برسیم. یکی نیست بگه تنبلی از خودته. ولی وبلاگ که بی شما نمیشه.
خلاصه ببینم چی می کنیدا...
منتظرم.

بیکاری! نه نه نه!

infinity — Mon, 10 Jul 2006 15:26:18 GMT

سلام به بروبچ ریاضیدان.
یه چند روزی می شه که امتحانا تموم شده ولی فعلا یکی دو روز دیگه صبر کنید. یک (ی با فتحه است و ک خیلی محکمه) سورپرایز براتون دارم که همین روزا رو می کنم. فکر نکنید یه مطلب خیلی جدیده ها. هر چقدرم اصرار کنید نمیگم که دارم یه قالب جدید طراحی میکنم. علامتشم اینه که اومدم امتحانش کنم زدم نشونی لوگوی گوگل رو پروندم. فعلا ولش کن! به اون احتیاجی نداریم. نگین (نگین نه نگید) چرا به جای قالب یه ذره محتوی رو درست نمی کنیا! این قالب با بقیه فرق داره. درست که شد می بینید. پس فعلا عذر خواهی من رو بپذیرید.
زود بر میگردم.
موفق باشید.