سلام.
قبل از هر چیز بگم که بخش "خبرنامه" رو راه انداختیم که اگه دوست داشتید عضو بشید. وقتی عضو بشیدو از آپدیت شدن وبلاگ خیلی زود مطلع میشید. و ضمنا اگه مقاله خوبی یا لینک خوبی هم داشتیم براتون میفرستیم. فقط ظاهرا یه نقصی داره خبرنامه وبگذر و اون اینکه ایمیل نقطه دار نوفهمه.

خوب. تو بحث قبل اشاره کردیم که در نظر نگرفتن مرحله ۱ (مورد پایه) در هنگام به کار بردن روش استقراء ریاضی چه عواقب جبران ناپذیر مالی و جانی در پی خواهد داشت. درسته؟ (میگه آره! کی چنین چیزی گفتیم!!) حالا مثالهای در مورد اهمیت این مرحله:

قضیه۶ (اشتباه): به ازای هر عدد صحیح n>=0 ، داریم: n=n+۵. (!!)
اثبات: "اثبات به استقرا": بیاید مرحله ۱ رو در نظر نگیریم. مرحله ۲:
فرض می کنیم که حکم برای یک n ی درست باشد. یعنی n=n+۵.(فرض استقرائی) ما باید نشان دهیم که برای n+۱ نیز درست است. یعنی n+۱) = (n+۱) + ۵). نشان دادن این بسیار ساده است. کافیست به دو طرف تساوی فرض استقرا عدد ۱ را اضافه کنیم.

مشکل برهان ارائه شده اینه که ما درست بودن حکم رو برای مورد پایه (در اینجا صفر) چک نکردیم که در این مورد مسلما درست نیست.

قضیه ۷ (اشتباه): در هر مجموعه n تایی از دانش آموزان، همه دانش آموزان هم قد هستند.(!!)
اثبات: "اثبات با استقراء بر روی تعداد دانش آموزان":
 این بار ما با مورد پایه شروع می کنیم: در هر مجموعه ۱ عضوی، حکم (اینکه همه دانش آموزان مجموعه هم قد هستند) به وضوح درست است، چون فقط یک نفر در مجموعه هست.
بنابراین اجازه بدهید که به مرحله ۲ برویم: فرض میکنیم که حکم برای مجموعه k عضوی درست باشد. (فرض استقرائی). حالا مجموعه S رو با k+۱ عضو در نظر بگیرید. بنابراین می تونیم بنویسیم:
     { S = S' U { p_k+۱       که در آن    { S' = { p_۱ , ... , p_k      مجموعه ایست با k عضو و p_i یعنی : "دانش آموز شماره i". بنابر فرض استقراء همه دانش آموزان مجموعه 'S هم قد هستند (چون k عضو دارد). یعنی p₁ با p₂ هم قد است. اما از طرفی می توانیم بنویسیم:       ''S = { p₁} U S     که  در آن     {S'' = { p_۲ , ... , p_k+۱     مجموعه ای k عضوی است. و باز بنابر فرض استقراء همه دانش آموزان "S  نیز هم قد هستند و در نتیجه: p_k+۱ با p_۲ هم قد است که خود p_۲ با p_۱ هم قد است. بنابراین p_k+۱ و p_۱ نیز با یکدیگر هم قد هستند. بنابراین همه k+۱ دانش آموز مجموعه S هم قدند و حکم به استقراء ثابت شد.
شما بگین توی این برهان چه چیزی اشتباهه؟

فکر کنم اهمیت مورد پایه در عین ساده بودن روشن شد. در انتها دو اشتباه در آوردن برهان ( که البته بیشتر در مورد مبتدیان اتفاق می افته) رو ذکر کنیم که کار ناقص نباشه. البته مورد دوم رو بیشتر ما در قضاوت های روزمره مون استفاده مینکیم که البته مسائل ریاضی نیستند.:

1. اثبات با مثال: اما اینکه یه حکم برای تعدادی مثال درست باشه لزومی بر درست بودنش نیست. همونطور که قبلا اشاره کردیم ممکنه یک حکم برای بینهایت مورد درست باشه ولی در حالت کلی درست نباشه. مثلا اینکه همه اعداد اول فردند. این حکم برای بینهایت عدد اول درسته و تنها برای ۲ درست نیست. ولی با این حال به شکل گفته شد یک حکم کلی نیست.
2. اثبات بر این اساس که مثال نقض وجود ندارد: اینکه برای یک حکم مثال نقضی "پیدا نکنیم" دلیل بر درستی حکم نمیشه. شاید واقعا وجود داره اما در دسترس ما نیست. همچنان با عدم یافتن مثالی نقضی برای حدس باخ، تبدیل به قضیه شدنش به یافتن اثباتی برای آن موکول شده.
البته اگر بتوانیم ثابت کنیم که هیچ مثال نقضی برای حکم "وجود نداره" یعنی حکم درسته. (که همون برهان خلفه).

خوب دیگه خسته نباشید. پرونده این داستان بسته شد. به نظر خود من این بحث به درد یک نوآموز ... تا دانشجوی ریاضی محض می خوره. نظر شما چیه؟

واما...!!. یه چند روز می خوام به کامپیوترم مرخصی استعلاجی بدم. بیچاره روزگار سختی رو سپری می کنه:
مادر برد: در شرف انفجار... خازن هاش باد کرده. عملیات بایوس به سختی انجام میشه. (همین الان که دارم می نویسم یه بوق عجیبی زد. فکر کنم خوشحال شد که میخواد بره دواخونه)
پاور: چیزی نی... فنش شکسته، می تونه با خورشید رقابت کنه!
فن سی پی یو: در حال حاضر تلفیقی از سه فن. حرکتش منو یاد چرخ پیکانای تهران الف میاندازه؟
هارد: تا خرخره پره. دو قسمت داره: یه قسمت پر نرم افزارای نصب نشده، قسمت دوم نصب شده نرم افزارای قسمت اول.
خوب می خوام به دادشون برسم. به نظر شما چند روز طول میکشه؟ مسئله اصلی مادربردشه که شاید تعمیرش سه، چهار روز طول بکشه.
تا بعد...

سـالـها دل طلب جـام جــم از ما میکـرد         آنــچه خود داشت ز بیگانه تمنا میکرد

گوهری کزصدف کون و مکان بیرون است        طـلب از گـمشـدگـان لـب دریــا میـکرد

                                                                                 -:: حافظ ::-

 سلام بچه ها

از نظرات همه شما بسیار متشکرم. آدمو دلگرم میکنید. البته باور کنید برای من اینکه مطلب رو بخونید مهمتر از اینه که نظر بدید. بنابراین از همه اونهایی هم که مطالب ما رو می خونند ولی نظر نمیدن متشکرم. اما خوب اگه نظر بدین کارتون دوچندان درسته. (تصمیم گرفتم زیاد حرف نزنم . یه راست بریم سراغ اصل مطلب)

توی پست قبلی دو تا از روش های اثبات رو گفتیم. اگه پست قبلی رو نخوندید، اول برید سراغ اون. دوتا روشی که گفتیم اینا بودن:

   1. برهان مستقیم (DIRECT PROOF)

   2. اثبات عکس نقیض (PROVING THE CONTRAPOSITIVE)

دو تا تعریف که یادتون هست. عدد زوج و فرد. حالا بقیه روشها:

   3. اثبات با تناقض (برهان خلف) (PROOF BY CONTRADICTION):

در این روش از برهان، می خواهیم نشان دهیم که " اگر A آنگاه B ". برای این کار فرض میکنیم خلاف این حکم درست باشد (فرض خلف). یعنی فرض می کنیم که " گزاره A درست و گزاره B غلط است." . حالا باید به دنبال یک تناقض بگردیم. این تناقض ممکن است، با فرض قضیه و یا یک حکم بدیهی که از درستی آن مطلع هستیم ولی در فرض مسئله نیست، ایجاد شود. مثلا به این حکم برسیم که 3 کوچکتر از 0 است (تناقض با یک دانسته بدیهی). خوب! به محض اینکه به یک تناقض رسیدیم، نتیجه می گیریم که چیزی که فرض کردیم (فرض خلف) غلط بوده، پس قضیه درسته.

قضیه 3: n و m را اعدا صحیح در نظر میگیریم. اگر n.m زوج باشد، حداقل یکی از اعداد n یا m ، زوج است.

اثبات: فرض میکنیم که "n.m زوج است (A) ولی نه m و نه n هیچکدام زوج نیستند (Not B)" (فرض خلف). بنابرای ما می توانیم بنویسیم:
عددیهای صحیح k و c وجود دارن که : n=۲k+۱ و m=۲c+۱ . در نتیجه:

n.m = (۲k+۱)(۲c+۱) =  ۴ k.c + ۲k + ۲c +۱ = ۲(۲k.c + k + c) +۱

که نشان می دهد n.m فرد است. از آنجایی که این یک تناقض (با فرض) است، نتیجه میگیریم که قضیه درست است.

نکته: این یه نکته کوچولو رو داشته باشید که درستی این روش بر اساس قانون ِ"طرد ِشِق ِوسط " است. این قانون میگه که یک گزاره یا درسته و یا غلط و حالت بینابین یا حالت سومی نداره. این روش اثبات تنها در منطق دو ارزشی پذیرفتنی است. (نگران نباشید. این یعنی تقریبا همه جای ریاضی ای که ما می خوانیم به جز جایی که دقیقا در زمینه منطق های چند ارزشی صحبت میشه.) در این روش میگیم: چون فرض غلط بودن حکم به تناقض می رسه، پس غلط نیست، پس درسته. چون نمیتونه نه درست باشه نه غلط.

برای آشنایی با کامل ترین نوع منطق چند ارزشی (منطق فازی Fuzzy) می تونید به وبلاگ امید ریاضی سر بزنید.

 
  4. اثبات با استقراء (PROOF BY INDUCTION) :

در مواردی می خواهیم نشان دهیم که گزاره S(n) برای تمام اعداد صحیح بزرگتر از عدد صحیحی چون n₀ درست است. برای این منظور باید دو مرحله را انجام دهیم:

 الف) مورد پایه: باید نسان دهیم که S(n₀) ، (یعنی گزاره S(n) در مورد n₀ ) درست است.

ب‌)   فرض استقرائی: فرض میکنیم که S(n) برای یکn > n₀  درست باشد و نشان میدهیم که S(n+۱) نیز درست است.

قضیه 4: برای هر n>=0 و x <> 1 داریم: (علامت <> یعنی مخالف)

۱+ x + x^۲ + … + xⁿ = (xⁿ⁺¹ – ۱)/(x-۱)

اثبات: ابتدا نشان میدهیم که برای مورد پایه درست است. برای n=0 ، S(0) میرساند که

        ۱= (x^0+۱ -۱ )/(x -۱)   که این به روشنی درست است.

حالا فرض استقراء را دانبال می کنیم: فرض میکنیم که

۱+ x + x^۲ + … + xⁿ = (xⁿ⁺¹ – ۱)/(x-۱)

باید نشان دهیم که:

۱+ x + x^۲ + … + xⁿ  + xⁿ⁺¹ = (x^n+۲ – ۱)/(x-۱)

داریم:

۱+ x + x^۲ + … + xⁿ  + xⁿ⁺¹  =  (xⁿ⁺¹ – ۱)/(x-۱) + xⁿ⁺¹

= ( xⁿ⁺¹ – ۱ + (x-۱).(xⁿ⁺¹) ) / (x-۱)

= ( xⁿ⁺¹ – ۱ + x^n+۲ – xⁿ⁺¹ ) / (x-۱)

= ( x^n+۲ – ۱ ) / (x-۱) .:.

که در اولین تساوی از فرض استقرائی استفاده کردیم و بقیه تساویها، اعمال ساده جبری اند. به این ترتیب قضیه ثابت شد.

نکته: معمولا نشان دادن اینکه حکم برای مورد پایه درست است بسیار بدیهی و ساده است. اما با این وجود این مرحله بسیار مهم است و عدم در نظر گرفتن آن ممکن است به نتایج غلطی منجر شود. برای اینکه مطلبمون زیاد طولانی نشه، روش پنجم اثبات رو هم میگم و  مثال هایی در مورد اهمیت مورد پایه در روش استقرا و بعد دو روش غلط اثبات رو برای پست بعدی می گذاریم.

 
  5. رد کردن یک حکم با مثال نقض (DISPROOF BY COUNTEREXAMPLE):

گاهی لازم است نشان دهیم که یک حکم غلط است. برای نشان دادن اینکه  یک "حکم" غلط است، یکی از ملزومات آوردن یک مثال نقض است. مثال زیر را ملاحظه فرمائید:

قضیه 5 (اشتباه): به ازای هر n صحیح، 3n زوج است.

اثبات اشتباه بودن: یک مثال نقض مورد n=۷ است. زیرا 21=7×3  زوج نسیت.

توجه کنید که در بعضی موارد یک حکم ممکن است برای بسیار و یا حتی بینهایت مورد درست باشد و حتی در بعضی موارد آوردن مثال نقض بسیار سخت است. مثلا در مورد حدس گلدباخ با آنکه اثبات کاملی برای آن ارائه نشده (نکنه شده من نمی دونم) اما تا به حال مثال نقضی هم برای آن پیدا نشده است.حدس گلدباخ: هر عدد صحیح زوج بزرگتر از 2، مجموع دو عدد اول است.
راستی می پرسید پس یک کلمه ریاضی چی شد؟

خواستم پست طولانی نشه. یه جای خوب براس پیدا می کنم.شما کلمه های توی اسم روش ها رو بخونید فعلا. مثلا :  CONTRADICTION یعنی تناقض.

خوب دیگه بسه. خسته نباشید. دیگه واسه پست بعد چیز زیادی نمونده.

این کلام هم بیشتر از اونی که فکرش رو بکنی قابل تامله: 

ترس با نا امیدی و شرم با محرومیت همراه است، و فرصت ها چون ابرها میگذرند، پس فرصت های نیک را غنیمت بشمارید.                                                     -:: حضرت امام علی (ع) ::-

 اول سلام.

بعد اینکه لطفا اول برید پست پایینی و مقدمه رو بخونید. چون اینها در اصل یه پستند منتها چون طولانی میشد دو قسمتش کردم....

خوب حالا:

مقدمه ای که گفتم اصلا نمی خواستم بگم ولی با خودم گفتم شاید مفید واقع بشه.

همونطور که ابتدا عرض کردیم، سه بحران مخرب در مبانی ریاضی به وجود اومده. ((البته الان که فکر می کنم می بینم که ریاضی همیشه سرحال و قوی و محکم کار خودشو کرده. این ما بودیم که دچار بحران شدیم. تازه اونم به خاطر تصور غلط خودمون. ریاضی بحرانی نداشته.))

خلاصه:

+بحران اول:

در قرن پنجم قبل از میلاد (با عرض ارادت خدمت آقا میلاد) در آن هنگام که اعداد گویا بر جهان ریاضی فرمانروایی می کردند و این نظریه استوار بود که "تمام کمیت های متشابه، متناسبند"، ناگهان جوانی سلحشور با آرمان پیشرفت ریاضیات ظاهر شد. نامش "اندازه قطر یک مربع به طول ضلع 1". سلاطین ریاضی که به تناسب کمیت های متشابه معتقد بودند سعی داشتند که با استفاده از نسبت دو ظلع (اعداد گویا) اندازه این قطر را بیان کنند تا طغیان بر علیه سلطان خاموش شود. اما...

+بحران دوم:

سلام ...

حوصله تون که سر نرفته.

مبانی ریاضیات از زمان یونان باستان تا عصر حاضر، سه بحران مخرب رو طی کرده. ببینید بچه ها، از کنار کلمه ها به سادگی رد نشید. "مبانی" ریاضیات!!.. وقتی مبانی دچار بحران بشه کل ساختار دچار یک آشفتگی می شه و در خیلی جاها به تناقض می رسیم.

فکر میکنم قبل از اینکه به خود بحرانها بپردازیم کمی در مورد چگونگی به وجود (و یا شاید کشف) بحرانها صحبت کنیم.

ما ریاضیات رو بر یک سری پایه ها بنا کردیم (البته ما که بنا نکردیم. کار غولهای دنیای علم بوده. به اقلیدس و ارشمیدس که فکر می کنم مخم سوت میکشه) که برای همه ما قابل قبولند. چیزهایی که برای پی ریزی احتیاج داریم یک سری "مفاهیم اولیه" اند که دیگه اونها رو تعریف نمی کنیم و یک سری "احکام اولیه" که اونها رو بدون اثبات می پذیریم. "مفاهیم اولیه" مثل "نقطه" و  "احکام اولیه" مثل اینکه: "بین هر دو نقطه یک خط راست وجود دارد."

ادامه ریاضیات استفاده از همین احکام و تعاریف اولیه برای رسیدن نتیایج گسترده و دلخواه است.

خوب حالا "مبانی ریاضیات" چی اند؟

اگه خیلی خودمونی بخوام بگم؛ مبانی ریاضیات اون چیزهاییه که اگه بلدشون نباشیم نمی تونیم در هیچ زمینه ای از ریاضیات کار کنیم! مثلا من اگر نظریه گالوا رو بلد نباشم، میتونم هندسه بخونم و یا آمار (با شک). اما تصور کنید که جمع و ضرب بلد نباشم یا ندونم که "مجموعه" چیه. خوب چه کار میتونم بکنم؟!

بحران یعنی چه؟

به نظر شما چه چیز می تونه یه بحران در ریاضی ایجاد کنه؟ یه مسئله حل نشده! یه نظریه ریاضی بدون هیچ گونه تعبیر عینی! دعوا بین دوتا ریاضیدان مطرح! و یا افتادن درس ریاضی؟ 

خوب هیچکدوم. تا حالا شده دچار بحران بشین؟ (خدا نکنه.) اوج بحران اونجاس که آدم با خودش به تناقض برسه. بحران در ریاضیات هم همینطوره. در ریاضی پارادوکس های زیادی وجود داره. بعضی از پارادوکس ها به زودی حل شدند و بعضی دیگه با زحمت زیاد. اما بعضی وقتها یه تناقضاتی پیدا شده که ریشه این تناقضات در تعارف اولیه و یا احکام اولیه مبانی ریاضیات اند. به این می گن بحران. تناقض! اونم در مبانی ریاضی! اونم در اصول اولیه!

حالا برید پست بالایی و خلاصه سه بحران رو بخونید.