سلام.
سلامی از پس لحظه های شتابان. طاعات و عباداتتون قبول. ما رو هم دعا کنید.
از لطفی که به ما دارید و نظرات نابتون ممنونم. از همه اونهایی هم که نظراتشون نیاز به پاسخ داشت و من پاسخ ندادم بسیار عذر می خواهم. گاهی همه چیز آنطور نیست که فکر می کنی. گاهی با به وجود آمدن شرایط جدید اگر بخواهی بر معادلات قدیمیت پافشاری کنی به جواب نخواهی رسید. باید معادلات را به هم ریخت و جور دیگر چید. مدتی آفلاین آفلاین خواهم بود. شاید پنج روز دیگه (علاوه بر این همه مدت قبل از اعلامیه ) شاید ده روز و شایدم خیلی بیشتر. هیچکدوم از برنامه هایی که قرار بود تو وبلاگ انجام بدیم یادم نرفته. همه نظارت شما رو هم راجع به وبلاگ خوان اعمال خواهم کرد. اما مدتی ( به دلیل بازدید بازرسان آژانس انرژی درونی از وبلاگ من 
) فعالیت ها به حالت تعلیق درآمده. ما رو فراموش نکنید.
پایان مدت تعلیق متعاقبا اعلام خواهد شد.
موفق باشید.
*بخش "یک کلمه ریاضی" جزء پست حساب نمیشه. از این به بعد اول پستها میذارم.شایدم یه جای بهتر! *
یک کلمه ریاضی:
Contrapositive
معادل فارسی:" عکس ِ نقیض" (ترکیب اضافی است. با کسره بعد از عکس بخونید. جسارتاً البته). خوب حالا عکس ِ نقیض یعنی چه؟ "عکس ِ نقیض" در مورد احکام و قضایا به کار میره. مبحث گزاره ها رو بلدید؟ (اونایی که هنوز نخوندن خوشحال باشند. چون در مباحث مبانی ریاضی در این مورد صحبت می کنیم.) فعلا یه کوچولو بگم که عکس ِ نقیض یک قضیه یعنی اینکه: اول هم فرض و هم حکم قضیه رو نفی کنیم. یعنی یه "نه" (Not) بیاریم جلوش. و دوم اینکه جای فرض و حکم رو عوض کنیم. مثال: قضیه: " اگر باران می بارد آنگاه(پس) آسمان ابری است."
مرحله یک: " باران می بارد >> باران نمی بارد " ..... " ابری است >> ابری نیست"
مرحله دو: " عکس ِ نقیض ِ قضیه: " اگر آسمان ابری نیست آنگاه(پس) باران نمی بارد."
خوب همه اینها برای چی بود؟ این مهمه: هر "قضیه" و " عکس ِ نقیضش" با هم معادلند. یعنی به جای هر کدوم میشه اونیکی رو به کار برد.
بچه ها سلام. مدتی بود که خونه نبودم. و حتی مقداری از آن را خارج از حیطه زمین بودم. گاهی باید خارج شد. از خانه و محله و شهر خود. و گاه باید از خود نیز برون رفت و خویشتن را بیرون نظاره کرد. و چقدر معتقدم به اینکه: بسیار سفر باید تا پخته شود خامی.
و اما گاهی هم باید از خود سفر کرد و گاهی نیز باید در خود سفر کرد...
خوب! فلسفیدن بسه. دلم تنگ شده بود. برای شما، وبلاگ، نظراتتون، ریاضی نوشتن و ... می خوام خیلی سریع برم سر اصل مطلب. فقط دو تا توضیح کوچیک اینکه:
اول: ان شاءالله سری مباحث پایه ای ریاضیات (مبانی ریاضیات) رو با نگاهی ظریفتر(اگر بتونیم)، مهرماه شروع میکنیم. بیشتر بر اساس کتاب نظریه مجموعه ها و کابردهای آن (شو وینگ تی.لین & یو فنگ.لین، مرکز نشر دانشگاهی) پیش میریم که احیانا بچه های سال اول رشته ریاضی در دانشگاه ها (که الان خودشون نمی دونن) بتونن ازش استفاده کنن. پیشنهاد میکنم در آغاز سال این بچه ها رو در جریان کار بذارید. البته من خیلی وارد جزئیات نمیشم اما سعی می کنم برای همه مفید باشه.
دوم: تعدادی از دوستان سراغ مشروح بحرانهای ریاضی رو میگیرند. چشم. در پستهای بعدی به اون میپردازیم. الان برای اینکه ازین حالت یکنواختی دربیام یه مقاله کوچولو موچولو راجع به " تکنیکهای اثبات احکام" بخونید.
**********************************************************
چندکلامی درباره روشهای عمومی اثبات
ترجمه آزاد مقاله Remarks About Methods of Proof
قصد ما مطرح کردن چند روش ساده و عمومی اثبات است که ممکن است شما بارها از هر کدام استفاده کرده باشید. برای راحتی کار در مثال ها دو تعریف زیر را می آوریم.
تعریف 1: عدد n را زوج گوییم اگر بتوان آنرا به صورت n=2k که k عددی صحیح است، نوشت.
تعریف 2: عدد n را فرد گوییم اگر بتوان آنرا به صورت n=2k+1 که k عددی صحیح است، نوشت.
1. اثبات مستقیم (DIRECT PROOF) :
با فرض های قضیه آغاز می شود و با استنتاج، از آن نتایجی حاصل می شود، بیرون آوردن نتیاج ادامه می یابد تا اینکه به حکم مطلوب برسیم.
قضیه1: اگر n زوج باشد آگاه n۲ زوج است.
اثبات: n زوج است (فرض) بنابراین عدد صحیحی چون k وجود دارد که n=۲k. بنابراین:
n۲ = (۲k)۲ = ۲ (۲k۲)
و می دانیم 2k۲ نیز عددی صحیح است بنابراین طبق تعریف1 n۲ عددی زوج است.
2. اثبات عکس ِ نقیض قضیه به جای خود قضیه. (PROVING THE CONTRAPOSITIVE)
در این روش اثبات، ما می خواهیم نشان دهیم که « اگر "A" آنگاه "B" ». به جای آن ما یک قانون معادل آن را نشان می دهیم: « اگر "B نقض شود" ( Not B)، آنگاه "A نقض میشود" (Not A) ».
قضیه 2: اگر n۲ زوج باشد، آنگاه n زوج است.
اثبات: در این مورد "n۲ زوج است" 'گزاره A و "n زوج است" گزاره B می باشد. نشان می دهیم اگر n فرد باشد (نقیض B) آنگاه n۲ فرد است (نقیض A). به این ترتیب که: می دانیم که عدد صحیحی چون K هست که n=۲k+1. بنابراین:
n۲ = (۲k+۱)۲ = ۴k۲+۲k+۱ = ۲(۲k۲+k)+۱.
چون k صحیح است پس 2k۲+k نیز صحیح است. پس ما نشان دادیم که n۲ فرد است.
ـــ خوب بقیه اش باشه واسه پست بعدی. خیلی الکی بود ها؟!!!. مثالا چی؟ آبکی بود؟!! سه روش دیگه هست.
خدایا به من زیستنی عطا کن که در لحظه مرگ بر بی ثمری لحظه ای که برای زیستن گذشته است حسرت نخورم و مردنی عطا کن که بر بیهودگیش سوگوار نباشم. بگذار تا آن را من خود انتخاب کنم اما آنچنان که تو دوست داری. -:: دکتر علی شریعتی ::-
:: بالای صفحه
سلام بچه ها
قول داده بودم در مورد رسم پذیری اعداد براتون بنویسم.
برای آشنایی با رسم پذیری اطلاع خاصی نیاز نیست اما برای بررسی دقیق آنها باید با نظریه میدان ها و میدان های تجزیه گر و بعضی مفاهیم دیگر آشنایی داشته باشیم که معمولا طی سرفصل درس جبر۲ رشته ریاضی محض در دانشگاه تدریس می شود. من بحث رو طوری تنظیم کردم که حتی به عنوان اطلاعات عمومی هم قابل استفاده باشه و خیلی وارد جزئیات مباحث تخصصی نشدم.
فقط خواهشی که دارم اینه که اگه قابل دونستید و از مطالب ما استفاده کردید. باز هم قابل بدونید و منبع رو بگید.
**** رسم پذیر بودن یک عدد:
عدد a رو رسم پذیر گوییم اگر بتوان تنها با استفاده از خط کش و پرگار پاره خطی به طول a رسم کرد. و البته فرض ما بر این است که یک واحد طول داده شده باشد.
* از این به بعد هر جا کلمه رسم پذیری آمد منظور همان رسم پذیری به وسیله خط کش و پرگار است.
رسم پذیری بعضی عددها بسیار واضح است. مثلا ۱ و ۲ و ... چون اینها ضریبهایی از واحد طول هستند. اما بعضی دیگر احتیاج به بررسی دارند مثل "رادیکال ۲". آیا این عدد رسم پذیر است؟
از دوران دبیرستان به یاد داریم که : از هر نقطه خارج یک خط مفروض می توان خطی عمود بر آن رسم کرد. اگر محل تلاقی این دو خط را مبدا در نظر بگیریم به این محور محور رسم پذیر می گوییم.
در این محور:
۱. (a,0) یا (0,a) را رسم پذیر گوییم اگر a رسم پذیر باشد.
۲. (a,b) را رسم پذیر گوییم اگر a و b رسم پذیر باشند.
هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد، اعم از پاره خط، دایره و... یک شکل رسم پذیر گوییم.
++ اگر یک پاره خط در این محورها رسم کنیم، طول پاره خط عددی رسم پذیر است.
حال می توانیم به راحتی بگوییم که "رادیکال۲" رسم پذیر است. چون اگر (0.1) و (0و1) رو روی محور به هم وصل کنیم بنابر قضیه فیثاغورث پاره خطی به طول "رادیکال2" داریم.
حال سوالی که مطرح می شود این است که آیا همه اعداد رسم پذیرند؟ و اگر نه چه عددهایی رسم پذیرند و کدام ها رسم پذیر نیستند.
همه عددها رسم پذیر نیستند و تعیین رسم پذیری آنها به کارهای تخصصی می انجامد اما حالا که مفهوم عدد رسم پذیر رو فهمیدیم چند حکم کلی درباره رسم پذیری رو هم بیان می کنیم:
-
اگر a و b رسم پذیر باشند آنگاه a+b , a-b , a.b , a/b نیز رسم پذیرند.
-
اگر a رسم پذیر باشد آنگاه "رادیکال a" نیز رسم پذیر است.
-
موارد زیر معادلند (یعنی اگر یکی از آنها در مورد یک عدد درست باشد دو تای دیگر نیز درستند):
الف) x رسم پذیر است.
ب) (Cos(x رسم پذیر است.
ج) (Sin(x رسم پذیر است. -
همه اعداد گویا (Q) رسم پذیر هستند.
اکنون کار قضاوت در مورد رسم پذیری عددها خیلی ساده تر شد. تنها عددی ممکن است رسم پذیر نباشد که گنگ باشد. اما تعیین اینکه عدد گنگی رسم پذیر است یا نه دارای تکنیکهای ویژه ایست.
خوب تا اینجای کار مباحث عمومی بود. ۵ حکم دیگر را برای آنها به با میدان های شکافنده آشنایی دارند در ادامه مطلب آورده ام.
ادامه مطلب